Vektor merupakan sebuah besaran yang memiliki arah. Vektor digambarkan sebagai panah dengan yang menunjukan arah vektor dan panjang garisnya disebut besar vektor. Dalam penulisannya, jika vektor berawal dari titik A dan berakhir di titik B bisa ditulis dengan sebuah huruf kecil yang diatasnya ada tanda garis/ panah seperti atau atau juga:
Misalkan vektor merupakan vektor yang berawal dari titik menuju titik dapat digambarkan koordinat cartesius dibawah. Panjang garis sejajar sumbu x adalah dan panjang garis sejajar sumbu y adalah merupakan komponen-komponen vektor .
Komponen vektor dapat ditulis untuk menyatakan vektor secara aljabar yaitu:
atau
Jenis-jenis Vektor
Ada beberapa jenis vektor khusus yaitu:
- Vektor PosisiSuatu vektor yang posisi titik awalnya di titik 0 (0,0) dan titik ujungnya di A
- Vektor NolSuatu vektor yang panjangnya nol dan dinotasikan . Vektor nol tidak memiliki arah vektor yang jelas.
- Vektor satuanSuatu vektor yang panjangnya satu satuan. Vektor satuan dari adalah:
- Vektor basisVektor basis merupakan vektor satuan yang saling tegak lurus. Dalam vektor ruang dua dimensi memiliki dua vektor basis yaitu dan . Sedangkan dalam tiga dimensi memiliki tiga vektor basis yaitu , , dan .
Vektor di R^2
Panjang segmen garis yang menyatakan vektor atau dinotasikan sebagai Panjang vektor sebagai:
Panjang vektor tersebut dapat dikaitkan dengan sudut yang dibentuk oleh vektor dan sumbu x. positif.
Vektor dapat disajikan sebagai kombinasi linier dari vektor basis dan berikut:
Operasi Vektor di R^2
Penjumlahan dan pengurangan vektor di R^2
Dua vektor atau lebih dapat dijumlahkan dan hasilnya disebut resultan. Penjumlahan vektor secara aljabar dapat dilakukan dengan cara menjumlahkan komponen yang seletak. Jika dan maka:
Penjumlahan secara grafis dapat dilihat pada gambar dibawah:
Dalam pengurangan vektor, berlaku sama dengan penjumlahan yaitu:
Sifat-sifat dalam penjumlahan vektor sebagai berikut:
Perkalian vektor di R^2 dengan skalar
Suatu vektor dapat dikalikan dengan suatu skalar (bilangan real) dan akan menghasilkan suatu vektor baru. Jika adalah vektor dan k adalah skalar. Maka perkalian vektor:
Dengan ketentuan:
- Jika k > 0, maka vektor searah dengan vektor
- Jika k < 0, maka vektor berlawanan arah dengan vektor
- Jika k = 0, maka vektor adalah vektor identitas
Secara grafis perkalian ini dapat merubah panjang vektor dan dapat dilihat pada tabel dibawah:
Secara aljabar perkalian vektor dengan skalar k dapat dirumuskan:
Perkalian Skalar Dua Vektor di R^2
Perkalian skalar dua vektor disebut juga sebagai hasil kali titik dua vektor dan ditulis sebagai:
(dibaca : a dot b)
Perkalaian skalar vektor dan dilakukan dengan mengalikan panjang vektor dan panjang vektor dengan cosinus . Sudut yang merupakan sudut antara vektor dan vektor .
Sehingga:
Dimana:
Perhatikan bahwa:
- Hasil kali titik dua vektor menghasilkan suatu skalar
Vektor di R^3
Vektor yang berada pada ruang tiga dimensi (x, y, z).jarak antara dua titik vektor dalam dapat diketahui dengan pengembangan rumus phytagoras. Jika titik dan titik maka jarak AB adalah:
Atau jika , maka
Vektor dapat dinyatakan dalam dua bentuk, yaitu dalam kolom atau dalam baris . Vektor juga dapat disajikan sebagai kombinasi linier dari vektor basis dan dan berikut:
Operasi Vektor di R^3
Operasi vektor di secara umum, memiliki konsep yang sama dengan operasi vektor di dalam penjumlahan, pengurangan, maupun perkalian.
Penjumlahan dan pengurangan vektor di R^3
Penjumlahan dan pengurangan vektor di sama dengan vektor di yaitu:
Dan
Perkalian vektor di R^3 dengan skalar
Jika adalah vektor dan k adalah skalar. Maka perkalian vektor:
Hasil kali skalar dua vektor
Selain rumus di , ada rumus lain dalam hasil kali skalar dua vektor. Jika dan maka adalah:
Proyeksi Orthogonal vektor
Jika vektor diproyeksikan ke vektor dan diberi nama seperti gambar dibawah:
Diketahui:
Sehingga:
atau
Untuk mendapat vektornya:
Contoh Soal Vektor dan Pembahasan
Contoh Soal 1
Diketahui titik A(2,4,6), titik B(6,6,2), dan titik C(p,q,-6). Jika titik A, B, dan C segaris maka tentukan nilai p+q.
Pembahasan 1:
Jika titik-titik A, B, dan C segaris maka vektor dan vektor bisa searah atau berlainan arah. Sehingga akan ada bilangan m yang merupakan sebuah kelipatan dan membentuk persamaan
Jika B berada diantara titik A dan C, diperoleh:
sehingga:
Maka kelipatan m dalam persamaan:
Diperoleh:
disimpulkan:
p+q=10+14=24
0 comments:
Post a Comment